ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 13 - 13.34

Для упрощения данного выражения применим основные свойства логарифмов: 1) Логарифм произведения: $\log_a ab = \log_a a + \log_a b = 1 + \log_a b$. 2) Формулу перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$. Пусть для краткости записи $\log_a b = t$. Тогда $\log_b a = \frac{1}{t}$. Преобразуем числитель выражения: $$ \log_a ab \left(\log_b a - 1 + \log_a b\right) = (1 + t)\left(\frac{1}{t} - 1 + t\right) $$ Приведем выражение во второй скобке к общему знаменателю $t$: $$ (1 + t) \cdot \frac{1 - t + t^2}{t} = \frac{(1 + t)(1 - t + t^2)}{t} $$ Используя формулу суммы кубов $(1 + t)(1 - t + t^2) = 1 + t^3$, получаем: $$ \frac{1 + t^3}{t} $$ Знаменатель исходного выражения через переменную $t$ имеет вид: $$ 1 + \log_a^3 b = 1 + t^3 $$ Подставим полученные выражения числителя и знаменателя в исходную дробь: $$ \frac{\frac{1 + t^3}{t}}{1 + t^3} = \frac{1 + t^3}{t(1 + t^3)} = \frac{1}{t} $$ Вернемся к исходной переменной: $$ \frac{1}{t} = \frac{1}{\log_a b} = \log_b a $$ Ответ: $\log_b a$.