ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 13 - 13.33

**13.33.** Упростим данное выражение: $$ \frac{1 - \log_{a}^{3}{b}}{(\log_{a}{b} + \log_{b}{a} + 1) \log_{a}{\frac{a}{b}}} $$ Используем свойства логарифмов и формулы сокращённого умножения: 1. По формуле перехода к новому основанию: $$ \log_{b}{a} = \frac{1}{\log_{a}{b}} $$ 2. Логарифм частного: $$ \log_{a}{\frac{a}{b}} = \log_{a}{a} - \log_{a}{b} = 1 - \log_{a}{b} $$ 3. Разложим числитель по формуле разности кубов: $$ 1 - \log_{a}^{3}{b} = (1 - \log_{a}{b})(1 + \log_{a}{b} + \log_{a}^{2}{b}) $$ Для удобства вычислений сделаем замену $t = \log_{a}{b}$. Тогда исходное выражение принимает вид: $$ \frac{(1 - t)(1 + t + t^2)}{\left(t + \frac{1}{t} + 1\right)(1 - t)} $$ Приведём слагаемые в первой скобке знаменателя к общему знаменателю $t$: $$ t + \frac{1}{t} + 1 = \frac{t^2 + 1 + t}{t} = \frac{t^2 + t + 1}{t} $$ Подставим полученное выражение в дробь и сократим на $(1 - t)$: $$ \frac{1 + t + t^2}{\frac{t^2 + t + 1}{t}} = (1 + t + t^2) \cdot \frac{t}{t^2 + t + 1} $$ Так как $t^2 + t + 1 \neq 0$ при любых действительных $t$, сокращаем дробь на $(t^2 + t + 1)$: $$ t $$ Выполним обратную замену: $$ t = \log_{a}{b} $$ Ответ: $\log_{a}{b}$