ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 12 - 12.25

Раскроем скобки в произведении $(x - 2)(x - 3)$: $$ (x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6 $$ Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $$ (x^2 - 5x + 7)^2 - (x^2 - 5x + 6) = 1 $$ Введём замену переменной. Пусть $t = x^2 - 5x + 6$, тогда $x^2 - 5x + 7 = t + 1$. Уравнение принимает вид: $$ (t + 1)^2 - t = 1 $$ Раскроем скобки и упростим выражение: $$ t^2 + 2t + 1 - t = 1 $$ $$ t^2 + t = 0 $$ $$ t(t + 1) = 0 $$ Отсюда: $$ t_1 = 0 \quad \text{или} \quad t_2 = -1 $$ Вернёмся к замене: 1) Если $t = 0$: $$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 \cdot x_2 = 6 \end{cases} \implies x_1 = 2, \quad x_2 = 3 $$ 2) Если $t = -1$: $$ x^2 - 5x + 6 = -1 $$ $$ x^2 - 5x + 7 = 0 $$ Найдём дискриминант: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3 $$ Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: $2; 3$.