ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 12 - 12.24

Упростим выражение по действиям: $$ \left( \left( \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \right)^3 + 2a\sqrt{a} + b\sqrt{b} \right) : (3a^2 + 3b\sqrt{ab}) + \frac{\sqrt{ab} - a}{a\sqrt{a} - b\sqrt{a}} $$ **1. Упростим выражение в первых скобках:** Разложим числитель дроби $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ по формуле разности квадратов: $$ \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} $$ Возведём полученную разность в третью степень по формуле куба разности: $$ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^3 = (\sqrt{a})^3 - 3(\sqrt{a})^2\sqrt{b} + 3\sqrt{a}(\sqrt{b})^2 - (\sqrt{b})^3 = a\sqrt{a} - 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} - b\sqrt{b} $$ Сложим полученное выражение со слагаемыми $2a\sqrt{a} + b\sqrt{b}$: $$ (a\sqrt{a} - 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} - b\sqrt{b}) + 2a\sqrt{a} + b\sqrt{b} = 3a\sqrt{a} - 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} $$ Вынесем общий множитель $3\sqrt{a}$ за скобки: $$ 3\sqrt{a}(a - \sqrt{ab} + b) $$ **2. Разложим делитель на множители:** $$ 3a^2 + 3b\sqrt{ab} = 3(a^2 + b\sqrt{a}\sqrt{b}) = 3(a^2 + \sqrt{a}\cdot b\sqrt{b}) $$ Вынесем общий множитель $3\sqrt{a}$: $$ 3\sqrt{a}(a\sqrt{a} + b\sqrt{b}) = 3\sqrt{a}\left( (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 \right) $$ Применим формулу суммы кубов: $$ 3\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b) $$ **3. Выполним деление:** $$ \frac{3\sqrt{a}(a - \sqrt{ab} + b)}{3\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)} = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $$ **4. Упростим вторую дробь выражения:** Вынесем общий множитель $\sqrt{a}$ в числителе и знаменателе: $$ \frac{\sqrt{ab} - a}{a\sqrt{a} - b\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{b} - \sqrt{a})}{\sqrt{a}(a - b)} $$ Сократим дробь на $\sqrt{a}$ и разложим знаменатель $a - b$ как разность квадратов: $$ \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{-(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = -\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $$ **5. Сложим результаты первого и второго действий:** $$ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \left( -\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \right) = 0 $$ Ответ: $0$