ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 12 - 12.27

Для нахождения области значений функции $y = \sqrt{4x - x^2}$ исследуем подкоренное выражение. Пусть $t(x) = 4x - x^2$. Функция $y = \sqrt{t}$ определена только при $t \ge 0$. Преобразуем выражение $t(x)$, выделив полный квадрат: $$ t(x) = -(x^2 - 4x) = -(x^2 - 4x + 4 - 4) = 4 - (x - 2)^2 $$ Так как $(x - 2)^2 \ge 0$ при любом действительном $x$, то: $$ t(x) \le 4 $$ Наибольшее значение $t(x) = 4$ достигается при $x = 2$. Условие существования квадратного корня: $$ 4x - x^2 \ge 0 $$ $$ x(4 - x) \ge 0 $$ $$ x \in [0; 4] $$ При $x = 0$ и $x = 4$ подкоренное выражение обращается в нуль: $t(0) = t(4) = 0$. Поскольку квадратичная функция $t(x) = 4x - x^2$ непрерывна на отрезке $[0; 4]$, она принимает все значения от своего минимума до максимума: $$ 0 \le t \le 4 $$ Функция $y = \sqrt{t}$ является непрерывной и монотонно возрастающей при $t \ge 0$. Следовательно: $$ \sqrt{0} \le \sqrt{t} \le \sqrt{4} $$ $$ 0 \le y \le 2 $$ Таким образом, область значений данной функции: $E(y) = [0; 2]$. Ответ: $[0; 2]$.