ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 12 - 12.22

1) Решим неравенство: $$ 3 \cdot 4^x + 2 \cdot 9^x - 5 \cdot 6^x < 0 $$ Перепишем степени через основания $2$ и $3$: $$ 3 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x \cdot 3^x + 2 \cdot (3^x)^2 < 0 $$ Разделим обе части неравенства на $4^x = (2^x)^2$ (так как $4^x > 0$ при любых $x$, знак неравенства не меняется): $$ 3 - 5 \cdot \frac{3^x}{2^x} + 2 \cdot \left(\frac{3^x}{2^x}\right)^2 < 0 $$ $$ 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + 3 < 0 $$ Пусть $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x$, причём $t > 0$. Получаем квадратное неравенство: $$ 2t^2 - 5t + 3 < 0 $$ Найдём корни квадратного трёхчлена $2t^2 - 5t + 3 = 0$: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 $$ $$ t_1 = \frac{5 - 1}{4} = 1, \quad t_2 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2} $$ Решением неравенства $2t^2 - 5t + 3 < 0$ является интервал: $$ 1 < t < \frac{3}{2} $$ Выполним обратную замену: $$ 1 < \left(\frac{3}{2}\right)^x < \frac{3}{2} $$ $$ \left(\frac{3}{2}\right)^0 < \left(\frac{3}{2}\right)^x < \left(\frac{3}{2}\right)^1 $$ Так как основание степени $\frac{3}{2} > 1$, показательная функция возрастает, следовательно: $$ 0 < x < 1 $$ Ответ: $x \in (0; 1)$. --- 2) Решим неравенство: $$ 5 \cdot 25^{\frac{1}{x}} + 3 \cdot 10^{\frac{1}{x}} \ge 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): переменная находится в знаменателе, поэтому $x \ne 0$. Представим степени через основания $5$ и $2$: $$ 5 \cdot \left(5^{\frac{1}{x}}\right)^2 + 3 \cdot 5^{\frac{1}{x}} \cdot 2^{\frac{1}{x}} - 2 \cdot \left(2^{\frac{1}{x}}\right)^2 \ge 0 $$ Разделим обе части неравенства на $4^{\frac{1}{x}} = \left(2^{\frac{1}{x}}\right)^2 > 0$: $$ 5 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{2}{x}} + 3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{x}} - 2 \ge 0 $$ Пусть $t = \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$, где $t > 0$. Получаем квадратное неравенство: $$ 5t^2 + 3t - 2 \ge 0 $$ Найдём корни уравнения $5t^2 + 3t - 2 = 0$: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2 $$ $$ t_1 = \frac{-3 - 7}{10} = -1, \quad t_2 = \frac{-3 + 7}{10} = \frac{2}{5} $$ Решением квадратного неравенства относительно $t$ является: $$ t \le -1 \quad \text{или} \quad t \ge \frac{2}{5} $$ С учётом условия $t > 0$ случай $t \le -1$ не имеет решений. Остаётся: $$ t \ge \frac{2}{5} $$ Выполним обратную замену: $$ \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \ge \frac{2}{5} $$ $$ \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \ge \left(\frac{5}{2}\right)^{-1} $$ Так как основание степени $\frac{5}{2} > 1$, показательная функция возрастает, знак неравенства сохраняется: $$ \frac{1}{x} \ge -1 $$ Перенесём слагаемое в левую часть и приведём к общему знаменателю: $$ \frac{1}{x} + 1 \ge 0 $$ $$ \frac{1 + x}{x} \ge 0 $$ Решим полученное неравенство методом интервалов: - нуль числителя: $x = -1$; - нуль знаменателя: $x = 0$. Знаки дроби на интервалах: - при $x \in (-\infty; -1]$ выражение неотрицательно; - при $x \in [-1; 0)$ выражение отрицательно; - при $x \in (0; +\infty)$ выражение положительно. Получаем: $$ x \in (-\infty; -1] \cup (0; +\infty) $$ Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup (0; +\infty)$.