ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 12 - 12.23

1) Решим неравенство: $$ 3 \cdot 16^x + 2 \cdot 81^x - 5 \cdot 36^x < 0 $$ Заметим, что $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$, $81^x = (9^2)^x = (9^x)^2$, а $36^x = (4 \cdot 9)^x = 4^x \cdot 9^x$. Перепишем неравенство в виде: $$ 3 \cdot (4^x)^2 - 5 \cdot 4^x \cdot 9^x + 2 \cdot (9^x)^2 < 0 $$ Данное неравенство является однородным показательным неравенством второй степени. Разделим обе части неравенства на $(9^x)^2 = 81^x$. Так как показательная функция принимает только положительные значения ($81^x > 0$ при любых $x$), знак неравенства не изменится: $$ 3 \cdot \frac{(4^x)^2}{(9^x)^2} - 5 \cdot \frac{4^x \cdot 9^x}{(9^x)^2} + 2 < 0 $$ $$ 3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x + 2 < 0 $$ Пусть $t = \left(\frac{4}{9}\right)^x$, где $t > 0$. Получаем квадратное неравенство: $$ 3t^2 - 5t + 2 < 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $3t^2 - 5t + 2 = 0$: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 $$ $$ t_1 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \quad t_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 $$ Решением неравенства $3t^2 - 5t + 2 < 0$ является интервал: $$ \frac{2}{3} < t < 1 $$ Вернемся к переменной $x$: $$ \frac{2}{3} < \left(\frac{4}{9}\right)^x < 1 $$ Так как $\frac{2}{3} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}}$ и $1 = \left(\frac{4}{9}\right)^0$, получаем: $$ \left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}} < \left(\frac{4}{9}\right)^x < \left(\frac{4}{9}\right)^0 $$ Основание степени $0 < \frac{4}{9} < 1$, следовательно, показательная функция убывает, и при переходе к показателям знаки неравенства меняются на противоположные: $$ 0 < x < \frac{1}{2} $$ Ответ: $(0; 0{,}5)$. --- 2) Решим неравенство: $$ 2 \cdot 49^{\frac{1}{x}} - 9 \cdot 14^{\frac{1}{x}} + 7 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \ge 0 $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$. Заметим, что $49^{\frac{1}{x}} = (7^{\frac{1}{x}})^2$, $4^{\frac{1}{x}} = (2^{\frac{1}{x}})^2$, а $14^{\frac{1}{x}} = 7^{\frac{1}{x}} \cdot 2^{\frac{1}{x}}$. Разделим обе части неравенства на $4^{\frac{1}{x}} = (2^{\frac{1}{x}})^2 > 0$: $$ 2 \cdot \frac{49^{\frac{1}{x}}}{4^{\frac{1}{x}}} - 9 \cdot \frac{14^{\frac{1}{x}}}{4^{\frac{1}{x}}} + 7 \ge 0 $$ $$ 2 \cdot \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{2}{x}} - 9 \cdot \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} + 7 \ge 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$, где $t > 0$. Неравенство принимает вид: $$ 2t^2 - 9t + 7 \ge 0 $$ Найдем корни уравнения $2t^2 - 9t + 7 = 0$: $$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25 $$ $$ t_1 = \frac{9 - 5}{4} = 1, \quad t_2 = \frac{9 + 5}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} $$ Решением квадратного неравенства относительно $t$ с учетом условия $t > 0$ является: $$ 0 < t \le 1 \quad \text{или} \quad t \ge \frac{7}{2} $$ Перейдем к обратной замене: 1. Случай $0 < t \le 1$: $$ \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \le 1 $$ $$ \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \le \left(\frac{7}{2}\right)^0 $$ Поскольку основание степени $\frac{7}{2} > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ \frac{1}{x} \le 0 \iff x < 0 $$ 2. Случай $t \ge \frac{7}{2}$: $$ \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \ge \left(\frac{7}{2}\right)^1 $$ Так как основание степени $\frac{7}{2} > 1$: $$ \frac{1}{x} \ge 1 $$ $$ \frac{1}{x} - 1 \ge 0 $$ $$ \frac{1 - x}{x} \ge 0 \iff \frac{x - 1}{x} \le 0 $$ Применим метод интервалов: $$ x \in (0; 1] $$ Объединяя решения обоих случаев, получаем: $$ x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1] $$ Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; 1]$.