ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 13 - 13.1

По определению логарифма равенство $\log_a b = c$ верно тогда и только тогда, когда $a^c = b$ (при $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$). 1) $\log_7 \frac{1}{49} = -3$ Проверим равенство по определению: $$ 7^{-3} = \frac{1}{7^3} = \frac{1}{343} \neq \frac{1}{49} $$ Так как $7^{-2} = \frac{1}{49}$, то $\log_7 \frac{1}{49} = -2$. Равенство неверно. --- 2) $\log_{25} 5 = 2$ Проверим равенство: $$ 25^2 = 625 \neq 5 $$ Так как $25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$, то $\log_{25} 5 = \frac{1}{2}$. Равенство неверно. --- 3) $\log_5 125 = \frac{1}{3}$ Проверим равенство: $$ 5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5} \neq 125 $$ Так как $5^3 = 125$, то $\log_5 125 = 3$. Равенство неверно. --- 4) $\log_3 \frac{1}{81} = -4$ Проверим равенство: $$ 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81} $$ Равенство верно. --- 5) $\log_{0,01} 10 = 2$ Проверим равенство: $$ (0,01)^2 = 0,0001 \neq 10 $$ Так как $(0,01)^{-\frac{1}{2}} = \left(10^{-2}\right)^{-\frac{1}{2}} = 10^1 = 10$, то $\log_{0,01} 10 = -\frac{1}{2}$. Равенство неверно. --- 6) $\lg 0,0001 = -4$ Основание десятичного логарифма равно $10$. Проверим равенство: $$ 10^{-4} = \frac{1}{10^4} = \frac{1}{10\,000} = 0,0001 $$ Равенство верно. --- 7) $\log_{\frac{1}{3}} \frac{3\sqrt[3]{3}}{9} = \frac{2}{3}$ *(Примечание: в условии содержится опечатка набора основания — логарифм по основанию $1$ не существует по определению, так как основание $a \neq 1$; в оригинале учебника основанием является число $\frac{1}{3}$).* Преобразуем подлогарифмическое выражение к степени с основанием $\frac{1}{3}$: $$ \frac{3\sqrt[3]{3}}{9} = \frac{\sqrt[3]{3}}{3} = \frac{3^{\frac{1}{3}}}{3^1} = 3^{\frac{1}{3} - 1} = 3^{-\frac{2}{3}} = \left(3^{-1}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{2}{3}} $$ Проверим равенство: $$ \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{2}{3}} = \frac{3\sqrt[3]{3}}{9} $$ Равенство верно. --- 8) $\log_{\sqrt{5}} 0,2 = -2$ Проверим равенство: $$ (\sqrt{5})^{-2} = \left(5^{\frac{1}{2}}\right)^{-2} = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,2 $$ Равенство верно. --- **Ответ:** 1) неверно; 2) неверно; 3) неверно; 4) верно; 5) неверно; 6) верно; 7) верно; 8) верно.