ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 12 - 12.21

Решим неравенство: $$3^{\sqrt{x}} - 3^{2 - \sqrt{x}} \leq 8$$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ): Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $$x \geq 0$$ 2. Преобразуем второе слагаемое, используя свойства степеней: $$3^{2 - \sqrt{x}} = \frac{3^2}{3^{\sqrt{x}}} = \frac{9}{3^{\sqrt{x}}}$$ Перепишем исходное неравенство: $$3^{\sqrt{x}} - \frac{9}{3^{\sqrt{x}}} \leq 8$$ 3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{\sqrt{x}}$. Так как $x \geq 0$, то $\sqrt{x} \geq 0$, а значит, $t \geq 3^0$, то есть $t \geq 1$. Подставим $t$ в неравенство: $$t - \frac{9}{t} \leq 8$$ Поскольку $t \geq 1 > 0$, домножим обе части неравенства на $t$ без изменения знака неравенства: $$t^2 - 9 \leq 8t$$ $$t^2 - 8t - 9 \leq 0$$ 4. Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 8t - 9 = 0$ по теореме Виета: $$\begin{cases} t_1 + t_2 = 8 \\ t_1 \cdot t_2 = -9 \end{cases} \implies t_1 = -1, \quad t_2 = 9$$ Разложим левую часть на множители: $$(t + 1)(t - 9) \leq 0$$ Отсюда получаем решение квадратного неравенства: $$-1 \leq t \leq 9$$ 5. С учетом условия $t \geq 1$ получаем: $$1 \leq t \leq 9$$ 6. Выполним обратную замену: $$1 \leq 3^{\sqrt{x}} \leq 9$$ $$3^0 \leq 3^{\sqrt{x}} \leq 3^2$$ Так как основание показательной функции $3 > 1$, то функция $y = 3^u$ возрастает, и неравенство равносильно следующему: $$0 \leq \sqrt{x} \leq 2$$ Возведем все части неравенства в квадрат (все части неотрицательны): $$0 \leq x \leq 4$$ Полученный промежуток удовлетворяет ОДЗ ($x \geq 0$). Ответ: $[0; 4]$.