ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 12 - 12.20

Решим неравенство: $$ 2^{\sqrt{x}} - 2^{1-\sqrt{x}} < 1 $$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. 2. Преобразуем степень с отрицательным показателем, используя свойство $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$: $$ 2^{\sqrt{x}} - \frac{2^1}{2^{\sqrt{x}}} < 1 $$ $$ 2^{\sqrt{x}} - \frac{2}{2^{\sqrt{x}}} < 1 $$ 3. Введём замену переменной. Пусть $t = 2^{\sqrt{x}}$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$ при всех допустимых $x$, то $t = 2^{\sqrt{x}} \ge 2^0$, следовательно, $t \ge 1$. 4. Перепишем неравенство относительно $t$: $$ t - \frac{2}{t} < 1 $$ Так как $t \ge 1 > 0$, умножим обе части неравенства на $t$, при этом знак неравенства сохраняется: $$ t^2 - 2 < t $$ $$ t^2 - t - 2 < 0 $$ 5. Разложим квадратный трёхчлен на множители, найдя его корни: $$ t^2 - t - 2 = 0 \implies t_1 = -1, \quad t_2 = 2 $$ $$ (t + 1)(t - 2) < 0 $$ Решением этого неравенства является интервал: $$ -1 < t < 2 $$ 6. Учитывая условие $t \ge 1$, получаем: $$ 1 \le t < 2 $$ 7. Выполним обратную замену: $$ 1 \le 2^{\sqrt{x}} < 2 $$ $$ 2^0 \le 2^{\sqrt{x}} < 2^1 $$ Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому: $$ 0 \le \sqrt{x} < 1 $$ Возведём неотрицательные части неравенства в квадрат: $$ 0 \le x < 1 $$ Ответ: $[0; 1)$.