ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 12 - 12.19

1) Решим неравенство: $$ 3^{x+1} - 2 \cdot 3^{1-x} > 7 $$ Применим свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$: $$ 3 \cdot 3^x - \frac{2 \cdot 3}{3^x} > 7 $$ $$ 3 \cdot 3^x - \frac{6}{3^x} - 7 > 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = 3^x$, при этом $t > 0$. Неравенство принимает вид: $$ 3t - \frac{6}{t} - 7 > 0 $$ Так как $t > 0$, умножим обе части неравенства на $t$, при этом знак неравенства не изменится: $$ 3t^2 - 7t - 6 > 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $3t^2 - 7t - 6$: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2 $$ $$ t_1 = \frac{7 - 11}{2 \cdot 3} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} $$ $$ t_2 = \frac{7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 $$ Разложим левую часть на множители: $$ 3\left(t + \frac{2}{3}\right)(t - 3) > 0 $$ Так как по условию замены $t > 0$, множитель $\left(t + \frac{2}{3}\right)$ строго положителен при всех допустимых значениях $t$. Следовательно: $$ t - 3 > 0 \implies t > 3 $$ Вернемся к переменной $x$: $$ 3^x > 3^1 $$ Поскольку основание степени $3 > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$ x > 1 $$ **Ответ:** $(1; +\infty)$ --- 2) Решим неравенство: $$ 4^{1-x} - 0,5^{1-2x} \ge 1 $$ Преобразуем степени к основанию $2$: $$ 4^{1-x} = (2^2)^{1-x} = 2^{2-2x} = \frac{2^2}{2^{2x}} = \frac{4}{2^{2x}} $$ $$ 0,5^{1-2x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1-2x} = (2^{-1})^{1-2x} = 2^{2x-1} = \frac{2^{2x}}{2} $$ Подставим полученные выражения в неравенство: $$ \frac{4}{2^{2x}} - \frac{2^{2x}}{2} \ge 1 $$ Пусть $t = 2^{2x}$, где $t > 0$. Получаем: $$ \frac{4}{t} - \frac{t}{2} \ge 1 $$ Так как $t > 0$, умножим обе части неравенства на $2t > 0$: $$ 8 - t^2 \ge 2t $$ Перенесем все слагаемые в правую часть: $$ t^2 + 2t - 8 \le 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения $t^2 + 2t - 8 = 0$ по теореме Виета: $$ t_1 = -4, \quad t_2 = 2 $$ Решением неравенства $t^2 + 2t - 8 \le 0$ является отрезок: $$ -4 \le t \le 2 $$ Учитывая условие $t > 0$, получаем: $$ 0 < t \le 2 $$ Вернемся к переменной $x$: $$ 0 < 2^{2x} \le 2^1 $$ Неравенство $2^{2x} > 0$ выполняется при любых действительных значениях $x$. Решим оставшееся неравенство: $$ 2^{2x} \le 2^1 $$ Так как основание степени $2 > 1$, функция возрастает: $$ 2x \le 1 $$ $$ x \le 0,5 $$ **Ответ:** $(-\infty; 0,5]$