ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 12 - 12.18

1) $3^x - 9 \cdot 3^{-x} - 8 > 0$ Перепишем слагаемое с отрицательным показателем: $$ 3^x - \frac{9}{3^x} - 8 > 0 $$ Пусть $t = 3^x$, причём $t > 0$. Получаем неравенство: $$ t - \frac{9}{t} - 8 > 0 $$ Так как $t > 0$, умножим обе части неравенства на $t$, не меняя знак неравенства: $$ t^2 - 8t - 9 > 0 $$ Разложим левую часть на множители. Корни уравнения $t^2 - 8t - 9 = 0$ по теореме Виета: $t_1 = 9$, $t_2 = -1$. $$ (t - 9)(t + 1) > 0 $$ Решением квадратного неравенства является совокупность: $$ \left[ \begin{gathered} t < -1, \\ t > 9 \end{gathered} \right. $$ Учитывая условие $t > 0$, получаем $t > 9$. Вернёмся к переменной $x$: $$ 3^x > 9 $$ $$ 3^x > 3^2 $$ Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому: $$ x > 2 $$ Ответ: $(2; +\infty)$. --- 2) $2^{x+3} + 2^{1-x} < 17$ Используя свойства степеней, преобразуем левую часть: $$ 2^3 \cdot 2^x + 2^1 \cdot 2^{-x} < 17 $$ $$ 8 \cdot 2^x + \frac{2}{2^x} < 17 $$ Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. Тогда: $$ 8t + \frac{2}{t} - 17 < 0 $$ Умножим обе части неравенства на $t > 0$: $$ 8t^2 - 17t + 2 < 0 $$ Найдём корни квадратного трёхчлена $8t^2 - 17t + 2$: $$ D = (-17)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2 = 289 - 64 = 225 = 15^2 $$ $$ t_1 = \frac{17 - 15}{2 \cdot 8} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} $$ $$ t_2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 8} = \frac{32}{16} = 2 $$ Следовательно, решением неравенства относительно $t$ является интервал: $$ \frac{1}{8} < t < 2 $$ Оба конца положительны, условие $t > 0$ выполняется. Перейдём к переменной $x$: $$ \frac{1}{8} < 2^x < 2 $$ $$ 2^{-3} < 2^x < 2^1 $$ Так как основание $2 > 1$, знак неравенств сохраняется: $$ -3 < x < 1 $$ Ответ: $(-3; 1)$. --- 3) $6^{x+2} + 6^{-x} - 37 \geq 0$ Применим свойства степеней: $$ 6^2 \cdot 6^x + \frac{1}{6^x} - 37 \geq 0 $$ $$ 36 \cdot 6^x + \frac{1}{6^x} - 37 \geq 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = 6^x$, где $t > 0$. $$ 36t + \frac{1}{t} - 37 \geq 0 $$ Умножим обе части на $t > 0$: $$ 36t^2 - 37t + 1 \geq 0 $$ Найдём корни уравнения $36t^2 - 37t + 1 = 0$. Так как сумма коэффициентов $36 - 37 + 1 = 0$, корнями являются: $$ t_1 = 1, \quad t_2 = \frac{1}{36} $$ Решение неравенства для $t$: $$ \left[ \begin{gathered} t \leq \frac{1}{36}, \\ t \geq 1 \end{gathered} \right. $$ С учётом условия $t > 0$ переходим к переменной $x$: $$ \left[ \begin{gathered} 0 < 6^x \leq \frac{1}{36}, \\ 6^x \geq 1 \end{gathered} \right. \iff \left[ \begin{gathered} 6^x \leq 6^{-2}, \\ 6^x \geq 6^0 \end{gathered} \right. $$ Так как основание $6 > 1$, получаем: $$ \left[ \begin{gathered} x \leq -2, \\ x \geq 0 \end{gathered} \right. $$ Ответ: $(-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$. --- 4) $\left(\frac{3}{5}\right)^{x+1} + \left(\frac{3}{5}\right)^{1-x} \leq \frac{6}{5}$ Преобразуем степени в левой части: $$ \frac{3}{5} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^x + \frac{3}{5} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-x} \leq \frac{6}{5} $$ Разделим обе части неравенства на положительное число $\frac{3}{5}$: $$ \left(\frac{3}{5}\right)^x + \left(\frac{3}{5}\right)^{-x} \leq 2 $$ $$ \left(\frac{3}{5}\right)^x + \frac{1}{\left(\frac{3}{5}\right)^x} \leq 2 $$ Пусть $t = \left(\frac{3}{5}\right)^x$, где $t > 0$. $$ t + \frac{1}{t} \leq 2 $$ Умножим на $t > 0$: $$ t^2 - 2t + 1 \leq 0 $$ $$ (t - 1)^2 \leq 0 $$ Квадрат действительного числа не может быть строго меньше нуля, поэтому неравенство выполняется только в случае равенства нулю: $$ t - 1 = 0 \implies t = 1 $$ Вернёмся к переменной $x$: $$ \left(\frac{3}{5}\right)^x = 1 $$ $$ \left(\frac{3}{5}\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^0 \implies x = 0 $$ Ответ: $\{0\}$.