ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 12 - 12.17

1) $3^{\frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x} + 3} > 84$ Область допустимых значений: $x \ne 0$. Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и вынесем общий множитель $3^{\frac{1}{x}}$ за скобки: $$ 3^{\frac{1}{x}} \cdot (1 + 3^3) > 84 $$ $$ 3^{\frac{1}{x}} \cdot (1 + 27) > 84 $$ $$ 3^{\frac{1}{x}} \cdot 28 > 84 $$ Разделим обе части неравенства на $28$: $$ 3^{\frac{1}{x}} > 3^1 $$ Так как основание степени $3 > 1$, то показательная функция возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется: $$ \frac{1}{x} > 1 $$ Перенесем $1$ в левую часть и приведем к общему знаменателю: $$ \frac{1}{x} - 1 > 0 $$ $$ \frac{1 - x}{x} > 0 $$ Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства: $$ \frac{x - 1}{x} < 0 $$ Решим полученное неравенство методом интервалов: Нули числителя и знаменателя: $x = 1$ и $x = 0$. Знаки выражения на промежутках: - при $x \in (-\infty; 0)$ дробь положительна ($+$); - при $x \in (0; 1)$ дробь отрицательна ($-$). - при $x \in (1; +\infty)$ дробь положительна ($+$); Выбираем интервал, где дробь меньше нуля: $$ x \in (0; 1) $$ Ответ: $(0; 1)$. --- 2) $2 \cdot 16^x - 3 \cdot 2^{4x-1} + 7 \cdot 4^{2x-2} \leq 120$ Приведем все слагаемые к основанию $16$ (или к степени $2^{4x}$): - $16^x = (2^4)^x = 2^{4x}$; - $2^{4x-1} = 2^{4x} \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 16^x$; - $4^{2x-2} = (4^2)^{x-1} = 16^{x-1} = 16^x \cdot 16^{-1} = \frac{1}{16} \cdot 16^x$. Подставим полученные выражения в исходное неравенство: $$ 2 \cdot 16^x - 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 16^x + 7 \cdot \frac{1}{16} \cdot 16^x \leq 120 $$ Вынесем $16^x$ за скобки: $$ 16^x \cdot \left(2 - \frac{3}{2} + \frac{7}{16}\right) \leq 120 $$ Приведем дробные слагаемые в скобках к общему знаменателю $16$: $$ 2 - \frac{3}{2} + \frac{7}{16} = \frac{1}{2} + \frac{7}{16} = \frac{8 + 7}{16} = \frac{15}{16} $$ Получаем: $$ 16^x \cdot \frac{15}{16} \leq 120 $$ Умножим обе части неравенства на $\frac{16}{15}$: $$ 16^x \leq 120 \cdot \frac{16}{15} $$ $$ 16^x \leq 8 \cdot 16 $$ $$ 16^x \leq 128 $$ Представим обе части неравенства как степени с основанием $2$: $$ (2^4)^x \leq 2^7 $$ $$ 2^{4x} \leq 2^7 $$ Так как основание $2 > 1$, функция возрастает, поэтому переходим к показателям с сохранением знака: $$ 4x \leq 7 $$ $$ x \leq \frac{7}{4} $$ $$ x \leq 1,75 $$ В виде промежутка: $$ x \in (-\infty; 1,75] $$ Ответ: $(-\infty; 1,75]$.