ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 12 - 12.16

1) Решим неравенство: $$ 2^{3x+1} + 0,25^{\frac{1-3x}{2}} - 4^{\frac{3x}{2}} > 192 $$ Приведем все степени в левой части неравенства к основанию $2$: $$ 2^{3x+1} = 2^1 \cdot 2^{3x} = 2 \cdot 2^{3x} $$ $$ 0,25^{\frac{1-3x}{2}} = \left(\left(\frac{1}{4}\right)\right)^{\frac{1-3x}{2}} = \left(2^{-2}\right)^{\frac{1-3x}{2}} = 2^{-2 \cdot \frac{1-3x}{2}} = 2^{-(1-3x)} = 2^{3x-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{3x} $$ $$ 4^{\frac{3x}{2}} = \left(2^2\right)^{\frac{3x}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{3x}{2}} = 2^{3x} $$ Подставим полученные выражения в исходное неравенство: $$ 2 \cdot 2^{3x} + \frac{1}{2} \cdot 2^{3x} - 2^{3x} > 192 $$ Вынесем общий множитель $2^{3x}$ за скобки: $$ 2^{3x} \left(2 + \frac{1}{2} - 1\right) > 192 $$ $$ 2^{3x} \cdot 1,5 > 192 $$ $$ 2^{3x} \cdot \frac{3}{2} > 192 $$ Разделим обе части неравенства на $\frac{3}{2}$ (или умножим на $\frac{2}{3}$): $$ 2^{3x} > 192 \cdot \frac{2}{3} $$ $$ 2^{3x} > 128 $$ Так как $128 = 2^7$, получаем: $$ 2^{3x} > 2^7 $$ Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$ 3x > 7 $$ $$ x > \frac{7}{3} $$ $$ x > 2\frac{1}{3} $$ Ответ: $x \in \left(2\frac{1}{3}; +\infty\right)$. --- 2) Решим неравенство: $$ 2^{2x-1} + 2^{2x-3} - 2^{2x-5} > 2^{7-x} + 2^{5-x} - 2^{3-x} $$ В левой части неравенства вынесем за скобки степень с наименьшим показателем $2^{2x-5}$: $$ 2^{2x-5} \left(2^4 + 2^2 - 1\right) = 2^{2x-5} (16 + 4 - 1) = 19 \cdot 2^{2x-5} $$ В правой части неравенства вынесем за скобки степень с наименьшим показателем $2^{3-x}$: $$ 2^{3-x} \left(2^4 + 2^2 - 1\right) = 2^{3-x} (16 + 4 - 1) = 19 \cdot 2^{3-x} $$ Запишем преобразованное неравенство: $$ 19 \cdot 2^{2x-5} > 19 \cdot 2^{3-x} $$ Разделим обе части неравенства на $19$ ($19 > 0$): $$ 2^{2x-5} > 2^{3-x} $$ Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому переходим к неравенству для показателей с тем же знаком: $$ 2x - 5 > 3 - x $$ Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую: $$ 2x + x > 3 + 5 $$ $$ 3x > 8 $$ $$ x > \frac{8}{3} $$ $$ x > 2\frac{2}{3} $$ Ответ: $x \in \left(2\frac{2}{3}; +\infty\right)$.