ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 12 - 12.15

1) $\frac{16 - 4^x}{9x^2 + 12x + 4} \geq 0$ Преобразуем знаменатель дроби, воспользовавшись формулой квадрата суммы: $$ 9x^2 + 12x + 4 = (3x + 2)^2 $$ Перепишем неравенство в виде: $$ \frac{16 - 4^x}{(3x + 2)^2} \geq 0 $$ Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $$ 3x + 2 \neq 0 \implies x \neq -\frac{2}{3} $$ Поскольку при всех допустимых значениях переменной квадрат выражения строго положителен, то есть $(3x + 2)^2 > 0$ при $x \neq -\frac{2}{3}$, знак дроби определяется знаком её числителя. Исходное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} 16 - 4^x \geq 0, \\ x \neq -\frac{2}{3} \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ 4^x \leq 16 $$ $$ 4^x \leq 4^2 $$ Так как основание показательной функции $4 > 1$, функция $y = 4^t$ возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется: $$ x \leq 2 $$ Учитывая ограничение $x \neq -\frac{2}{3}$, получаем: $$ x \in \left(-\infty; -\frac{2}{3}\right) \cup \left(-\frac{2}{3}; 2\right] $$ **Ответ:** $\left(-\infty; -\frac{2}{3}\right) \cup \left(-\frac{2}{3}; 2\right]$ --- 2) $\frac{5^x - 0,04}{5 - x} \geq 0$ Представим десятичную дробь $0,04$ в виде степени с основанием $5$: $$ 0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2} $$ Тогда неравенство принимает вид: $$ \frac{5^x - 5^{-2}}{5 - x} \geq 0 $$ Найдем нули числителя и знаменателя: * Числитель: $5^x - 5^{-2} = 0 \implies 5^x = 5^{-2} \implies x = -2$. * Знаменатель: $5 - x = 0 \implies x = 5$ (значение $x = 5$ не входит в область допустимых значений). Так как основание показательной функции $5 > 1$, разность $5^x - 5^{-2}$ совпадает по знаку с разностью показателей $x - (-2) = x + 2$. Поэтому исходное неравенство равносильно дробно-рациональному неравенству: $$ \frac{x + 2}{5 - x} \geq 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства: $$ \frac{x + 2}{x - 5} \leq 0 $$ Применим метод интервалов: * Наносим на числовую прямую точку $x = -2$ (закрашенная) и точку $x = 5$ (выколотая). * Знаки выражения $\frac{x + 2}{x - 5}$ на интервалах: * при $x > 5$ выражение положительно ($+$); * при $-2 < x < 5$ выражение отрицательно ($-$) — интервал удовлетворяет неравенству; * при $x < -2$ выражение положительно ($+$). * В точке $x = -2$ значение выражения равно нулю. Следовательно, решением неравенства является промежуток: $$ x \in [-2; 5) $$ **Ответ:** $[-2; 5)$