ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 12 - 12.14

1) $\frac{5^x - 125}{x^2 - 4x + 4} \leq 0$ Преобразуем знаменатель дроби, применив формулу квадрата разности: $$ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 $$ Неравенство принимает вид: $$ \frac{5^x - 125}{(x - 2)^2} \leq 0 $$ Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $$ x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2 $$ При $x \neq 2$ выражение $(x - 2)^2 > 0$, поэтому знак всей дроби определяется знаком числителя. Исходное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} 5^x - 125 \leq 0, \\ x \neq 2 \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ 5^x \leq 125 $$ $$ 5^x \leq 5^3 $$ Так как основание степени $5 > 1$, функция $y = 5^t$ возрастает, следовательно: $$ x \leq 3 $$ С учетом условия $x \neq 2$ получаем: $$ x \in (-\infty; 2) \cup (2; 3] $$ Ответ: $(-\infty; 2) \cup (2; 3]$. --- 2) $\frac{2^x - 1}{x - 1} > 0$ Найдем нули числителя и знаменателя: - Числитель: $2^x - 1 = 0 \implies 2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$. - Знаменатель: $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Дробь не определена при $x = 1$. Неравенство строгое, поэтому обе точки $x = 0$ и $x = 1$ будут выколотыми на числовой прямой. Применим метод интервалов. Так как основание степени $2 > 1$, функция $y = 2^x$ возрастает, поэтому: - при $x > 0$ числитель $2^x - 1 > 0$; - при $x < 0$ числитель $2^x - 1 < 0$. Определим знак дроби на каждом из интервалов: - на интервале $(-\infty; 0)$ возьмем точку $x = -1$: числитель $2^{-1} - 1 = -\frac{1}{2} < 0$, знаменатель $-1 - 1 = -2 < 0$, частное положительно ($+$); - на интервале $(0; 1)$ возьмем точку $x = 0{,}5$: числитель $2^{0{,}5} - 1 = \sqrt{2} - 1 > 0$, знаменатель $0{,}5 - 1 = -0{,}5 < 0$, частное отрицательно ($-$). - на интервале $(1; +\infty)$ возьмем точку $x = 2$: числитель $2^2 - 1 = 3 > 0$, знаменатель $2 - 1 = 1 > 0$, частное положительно ($+$); Нам подходят интервалы, где выражение строго больше нуля: $$ x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) $$ Ответ: $(-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.