ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 2 - 28

Решим тригонометрическое уравнение: $$ \sin 2x + 16\cos^2 x = 4 $$ Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и представим число $4$ через основное тригонометрическое тождество $4 = 4(\sin^2 x + \cos^2 x)$: $$ 2\sin x \cos x + 16\cos^2 x = 4\sin^2 x + 4\cos^2 x $$ Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения: $$ 4\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 12\cos^2 x = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ 2\sin^2 x - \sin x \cos x - 6\cos^2 x = 0 $$ Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Если $\cos x = 0$, то из уравнения следует $2\sin^2 x = 0 \implies \sin x = 0$, что противоречит тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$: $$ 2\operatorname{tg}^2 x - \operatorname{tg} x - 6 = 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = \operatorname{tg} x$. Получаем квадратное уравнение: $$ 2t^2 - t - 6 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2 $$ Корни квадратного уравнения: $$ t_1 = \frac{1 + 7}{4} = 2, \quad t_2 = \frac{1 - 7}{4} = -\frac{3}{2} $$ Вернемся к переменной $x$: 1) $\operatorname{tg} x = 2$ $$ x = \operatorname{arctg} 2 + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\operatorname{tg} x = -\frac{3}{2}$ $$ x = -\operatorname{arctg}\frac{3}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$ Отберем корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{2}\right]$. Заметим, что так как $1 < \frac{3}{2} < 2$, то: $$ \frac{\pi}{4} < \operatorname{arctg}\frac{3}{2} < \operatorname{arctg} 2 < \frac{\pi}{2} $$ 1. Для серии $x = \operatorname{arctg} 2 + \pi k$: - При $k = 0$: $x = \operatorname{arctg} 2$. Так как $\frac{\pi}{4} < \operatorname{arctg} 2 < \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{2}$, данный корень принадлежит отрезку. - При $k = 1$: $x = \pi + \operatorname{arctg} 2$. Так как $\operatorname{arctg} 2 < \frac{\pi}{2}$, то $\pi + \operatorname{arctg} 2 < \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$, корень принадлежит отрезку. - При $k \ge 2$: $x \ge 2\pi + \operatorname{arctg} 2 > \frac{3\pi}{2}$. - При $k \le -1$: $x \le -\pi + \operatorname{arctg} 2 < 0 < \frac{\pi}{4}$. 2. Для серии $x = -\operatorname{arctg}\frac{3}{2} + \pi m$: - При $m \le 0$: $x \le -\operatorname{arctg}\frac{3}{2} < 0 < \frac{\pi}{4}$. - При $m = 1$: $x = \pi - \operatorname{arctg}\frac{3}{2}$. Так как $0 < \operatorname{arctg}\frac{3}{2} < \frac{\pi}{2}$, то $\frac{\pi}{2} < \pi - \operatorname{arctg}\frac{3}{2} < \pi$, корень принадлежит отрезку. - При $m = 2$: $x = 2\pi - \operatorname{arctg}\frac{3}{2}$. Так как $\operatorname{arctg}\frac{3}{2} < \frac{\pi}{2}$, то $2\pi - \operatorname{arctg}\frac{3}{2} > 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$, корень не принадлежит отрезку. - При $m \ge 3$: $x > \frac{3\pi}{2}$. Таким образом, отрезку $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{2}\right]$ принадлежат три корня: $\operatorname{arctg} 2$, $\pi - \operatorname{arctg}\frac{3}{2}$, $\pi + \operatorname{arctg} 2$. Ответ: $\operatorname{arctg} 2$; $\pi - \operatorname{arctg}\frac{3}{2}$; $\pi + \operatorname{arctg} 2$.