ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 2 - 25

25. Решим тригонометрическое уравнение: $$ 6 \cos 2x + 8 = 7 \sin 2x - 8 \cos^2 x $$ Применим формулы двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$, $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, а также представим число $8$ через основное тригонометрическое тождество: $8 = 8(\sin^2 x + \cos^2 x)$. Подставим эти выражения в уравнение: $$ 6(\cos^2 x - \sin^2 x) + 8(\sin^2 x + \cos^2 x) = 7 \cdot 2 \sin x \cos x - 8 \cos^2 x $$ Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения: $$ 6 \cos^2 x - 6 \sin^2 x + 8 \sin^2 x + 8 \cos^2 x = 14 \sin x \cos x - 8 \cos^2 x $$ Приведем подобные слагаемые в левой части: $$ 2 \sin^2 x + 14 \cos^2 x = 14 \sin x \cos x - 8 \cos^2 x $$ Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: $$ 2 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x + 14 \cos^2 x + 8 \cos^2 x = 0 $$ $$ 2 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x + 22 \cos^2 x = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ \sin^2 x - 7 \sin x \cos x + 11 \cos^2 x = 0 $$ Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $\sin^2 x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю в силу основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x \neq 0$: $$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 7 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 11 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $$ $$ \operatorname{tg}^2 x - 7 \operatorname{tg} x + 11 = 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = \operatorname{tg} x$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$ t^2 - 7t + 11 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 49 - 44 = 5 $$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $$ t_{1, 2} = \frac{7 \pm \sqrt{5}}{2} $$ Выполним обратную замену: 1) $\operatorname{tg} x = \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$ $$ x = \operatorname{arctg}\left(\frac{7 - \sqrt{5}}{2}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\operatorname{tg} x = \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$ $$ x = \operatorname{arctg}\left(\frac{7 + \sqrt{5}}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \operatorname{arctg}\left(\frac{7 \pm \sqrt{5}}{2}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.