ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 37 / вариант 1 - 3

Пусть $t = \sin x$, причем $-1 \le t \le 1$. Тогда исходное неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно переменной $t$: $$ 2t^2 - t - 3 < 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $2t^2 - t - 3 = 0$: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 $$ $$ t_1 = \frac{1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 $$ $$ t_2 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $$ Разложим квадратный трехчлен на множители: $$ 2(t + 1)\left(t - \frac{3}{2}\right) < 0 $$ Решением квадратного неравенства является интервал: $$ -1 < t < \frac{3}{2} $$ Вернемся к переменной $x$: $$ -1 < \sin x < \frac{3}{2} $$ Данное двойное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} \sin x < \frac{3}{2} \\ \sin x > -1 \end{cases} $$ Так как для любого действительного числа $x$ верно неравенство $-1 \le \sin x \le 1$, неравенство $\sin x < \frac{3}{2}$ выполняется при всех $x \in \mathbb{R}$. Неравенство $\sin x > -1$ выполняется при всех $x$, кроме тех, для которых $\sin x = -1$: $$ \sin x = -1 \iff x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Следовательно, решением неравенства являются все действительные числа, кроме точек вида $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Запишем решение в виде объединения интервалов: $$ x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $\left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right), \; k \in \mathbb{Z}$.