ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 37 / вариант 1 - 2

2. 6) Решим тригонометрическое неравенство: $$ \sin x \leqslant \frac{1}{2} $$ 1. Найдём точки на единичной окружности, ординаты которых равны $\frac{1}{2}$ (то есть $\sin x = \frac{1}{2}$): $$ x_1 = \frac{\pi}{6}, \quad x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $$ 2. Неравенству $\sin x \leqslant \frac{1}{2}$ удовлетворяют точки единичной окружности, ордината которых не превосходит $\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге окружности, расположенной на прямой $y = \frac{1}{2}$ и ниже неё. 3. Обходя данную дугу в положительном направлении (против часовой стрелки), запишем границы соответствующего промежутка длины $2\pi$. Левый конец дуги представим как: $$ \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6} $$ Правый конец дуги равен $\frac{\pi}{6}$. 4. С учётом наименьшего положительного периода функции синуса $T = 2\pi$ получаем: $$ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $$ x \in \left[ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k; \, \frac{\pi}{6} + 2\pi k \right], \quad k \in \mathbb{Z} $$