ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 2 - 26

26. Решим тригонометрическое уравнение: $$ \sin x - \sin 3x = 4 \sin^2 x \cos x $$ Применим формулу разности синусов в левой части уравнения: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cos\frac{\alpha + \beta}{2}$. $$ \sin x - \sin 3x = 2 \sin\left(\frac{x - 3x}{2}\right) \cos\left(\frac{x + 3x}{2}\right) = 2 \sin(-x) \cos 2x = -2 \sin x \cos 2x $$ В правой части сгруппируем множители, используя формулу синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin 2x$: $$ 4 \sin^2 x \cos x = 2 \sin x \cdot (2 \sin x \cos x) = 2 \sin x \sin 2x $$ Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $$ -2 \sin x \cos 2x = 2 \sin x \sin 2x $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ -2 \sin x \cos 2x - 2 \sin x \sin 2x = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $-2$ и вынесем общий множитель $\sin x$: $$ \sin x (\cos 2x + \sin 2x) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin x = 0$ $$ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\cos 2x + \sin 2x = 0$ Разделим обе части уравнения на $\cos 2x$ (так как если $\cos 2x = 0$, то и $\sin 2x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$): $$ 1 + \text{tg}\, 2x = 0 $$ $$ \text{tg}\, 2x = -1 $$ $$ 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \pi k, \quad x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.