ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 2 - 24

Решим тригонометрическое уравнение: $$ \cos 7x\cos 13x = \cos x\cos 19x $$ Применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) $$ Преобразуем левую и правую части уравнения: $$ \cos 7x\cos 13x = \frac{1}{2}(\cos(7x + 13x) + \cos(7x - 13x)) = \frac{1}{2}(\cos 20x + \cos(-6x)) $$ Так как функция косинус чётная, $\cos(-6x) = \cos 6x$: $$ \cos 7x\cos 13x = \frac{1}{2}(\cos 20x + \cos 6x) $$ Аналогично для правой части: $$ \cos x\cos 19x = \frac{1}{2}(\cos(x + 19x) + \cos(x - 19x)) = \frac{1}{2}(\cos 20x + \cos 18x) $$ Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $$ \frac{1}{2}(\cos 20x + \cos 6x) = \frac{1}{2}(\cos 20x + \cos 18x) $$ Умножим обе части уравнения на $2$: $$ \cos 20x + \cos 6x = \cos 20x + \cos 18x $$ Вычтем $\cos 20x$ из обеих частей: $$ \cos 6x = \cos 18x $$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ \cos 18x - \cos 6x = 0 $$ Применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$: $$ -2\sin\frac{18x + 6x}{2}\sin\frac{18x - 6x}{2} = 0 $$ $$ -2\sin 12x \sin 6x = 0 $$ Разделим обе части на $-2$: $$ \sin 12x \sin 6x = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin 6x = 0$ $$ 6x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi n}{6}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 2) $\sin 12x = 0$ $$ 12x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi k}{12}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Заметим, что серия решений $x = \frac{\pi n}{6} = \frac{2\pi n}{12}$ полностью содержится в серии решений $x = \frac{\pi k}{12}$ (при чётных значениях $k = 2n$). Объединяя обе серии, получаем общее решение: $$ x = \frac{\pi k}{12}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi k}{12}, \quad k \in \mathbb{Z}$.