ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 2 - 23

23. 6) Решим тригонометрическое уравнение: $$ \cos 3x = \sin 5x $$ Используем формулу приведения $\sin 5x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 5x\right)$ и перенесем все слагаемые в левую часть: $$ \cos 3x - \cos\left(\frac{\pi}{2} - 5x\right) = 0 $$ Применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$: $$ -2\sin\frac{3x + \left(\frac{\pi}{2} - 5x\right)}{2}\sin\frac{3x - \left(\frac{\pi}{2} - 5x\right)}{2} = 0 $$ $$ -2\sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right)\sin\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) = 0 $$ Используя нечетность синуса $\sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = -\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$, получаем: $$ 2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 0$ $$ x - \frac{\pi}{4} = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\sin\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) = 0$ $$ 4x - \frac{\pi}{4} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ 4x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, \; n \in \mathbb{Z}$.