ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 1 - 1

1. Дано уравнение: $$ 2\sin^2 x = 1 $$ Перенесём слагаемое из правой части в левую: $$ 2\sin^2 x - 1 = 0 $$ Получили квадратное уравнение относительно $\sin x$. Пусть $\sin x = t$, где $|t| \le 1$. Тогда уравнение принимает вид: $$ 2t^2 - 1 = 0 $$ $$ t^2 = \frac{1}{2} $$ $$ t = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Оба значения удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Выполним обратную замену: 1) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $$ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $$ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Объединяя полученные четыре серии точек на числовой окружности с периодом $\frac{\pi}{2}$, запишем общее решение: $$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.