ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 1 - 4

4. 3) Решим тригонометрическое уравнение: $$ 2\sin^2 x + \sin x - 3 = 0 $$ Введём новую переменную $t = \sin x$. Так как область значений функции синуса лежит в пределах от $-1$ до $1$, на переменную $t$ накладывается ограничение $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$ 2t^2 + t - 3 = 0 $$ Найдем дискриминант уравнения: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 $$ Корни квадратного уравнения: $$ t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{6}{4} = -1{,}5 $$ Значение $t_2 = -1{,}5$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому уравнение $\sin x = -1{,}5$ не имеет действительных корней. Вернёмся к замене для $t_1 = 1$: $$ \sin x = 1 $$ $$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.