ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 35 / вариант 2 - 30

30. Решим тригонометрическое уравнение и найдём его корни, принадлежащие отрезку $[-\pi; 2\pi]$. $$ \operatorname{tg} \frac{x}{2} = -1 $$ По формуле корней простейшего тригонометрического уравнения $\operatorname{tg} t = a$: $$ \frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Так как $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$, получаем: $$ \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Умножим обе части уравнения на $2$: $$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Выполним отбор корней на отрезке $[-\pi; 2\pi]$. Для этого составим двойное неравенство: $$ -\pi \le -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2\pi $$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $$ -1 \le -\frac{1}{2} + 2k \le 2 $$ Прибавим $\frac{1}{2}$ ко всем частям: $$ -\frac{1}{2} \le 2k \le \frac{5}{2} $$ Разделим все части неравенства на $2$: $$ -\frac{1}{4} \le k \le \frac{5}{4} $$ Так как $k \in \mathbb{Z}$, возможные значения $k$ — это $0$ и $1$. Найдём корни для каждого из этих значений $k$: 1) При $k = 0$: $$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{2} $$ 2) При $k = 1$: $$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2} $$ Ответ: $-\frac{\pi}{2}$; $\frac{3\pi}{2}$.