ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 35 / вариант 2 - 15

15. Вычислим значение выражения $\cos(\operatorname{arctg} \sqrt{5})$. Пусть $\alpha = \operatorname{arctg} \sqrt{5}$. По определению арктангенса: $$\operatorname{tg} \alpha = \sqrt{5}, \quad \text{где } \alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$$ Так как угол $\alpha$ принадлежит первой четверти, то $\cos \alpha > 0$. Воспользуемся формулой связи тангенса и косинуса одного и того же угла: $$1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ Отсюда выразим $\cos^2 \alpha$: $$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}$$ Так как $\cos \alpha > 0$, получаем: $$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}}$$ Подставим значение $\operatorname{tg} \alpha = \sqrt{5}$: $$\cos(\operatorname{arctg} \sqrt{5}) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\sqrt{5})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 5}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$ Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{6}$ (или $\frac{1}{\sqrt{6}}$).