ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 35 / вариант 2 - 13

Пусть $\alpha = \operatorname{arctg} a$. По определению арктангенса: 1) $\alpha \in \left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$; 2) $\operatorname{tg} \alpha = a$. Так как угол $\alpha$ принадлежит интервалу $\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$ (то есть лежит в I или IV координатной четверти), значение косинуса строго положительно: $\cos \alpha > 0$. Используем тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и косинус: $$ 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $$ Отсюда выразим $\cos^2 \alpha$: $$ \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{1}{1 + a^2} $$ Учитывая, что $\cos \alpha > 0$, извлекаем квадратный корень: $$ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} $$ По определению тангенса $\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, следовательно: $$ \sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha $$ Подставим найденные значения: $$ \sin \alpha = a \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}} $$ Так как $\alpha = \operatorname{arctg} a$, получаем: $$ \sin(\operatorname{arctg} a) = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}} $$ Равенство справедливо при любом $a \in \mathbb{R}$, что и требовалось доказать.