ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 35 / вариант 2 - 14

**14.** Пусть $\alpha = \operatorname{arctg} \frac{1}{3}$. По определению арктангенса: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{3}$, где $\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$. Так как угол $\alpha$ принадлежит I четверти, то $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$. Используем формулу связи тангенса и косинуса: $$ 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $$ $$ \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{1}{1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{1}{\frac{10}{9}} = \frac{9}{10} $$ Учитывая, что $\cos \alpha > 0$: $$ \cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} $$ Найдём $\sin \alpha$: $$ \sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} $$ Вычислим значение исходного выражения: $$ 5 \sin \left( \operatorname{arctg} \frac{1}{3} \right) = 5 \sin \alpha = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2} $$ **Ответ:** $\frac{\sqrt{10}}{2}$