ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 35 / вариант 2 - 17

**17.** **4)** Вычислим значение выражения $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{7}\right)\right)$. По определению арктангенса, для любого угла $x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ выполняется равенство: $$ \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = x $$ Проверим, принадлежит ли угол $-\frac{\pi}{7}$ интервалу $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$: Так как $-\frac{1}{2} < -\frac{1}{7} < \frac{1}{2}$, справедливо неравенство: $$ -\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2} $$ Следовательно, $-\frac{\pi}{7} \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, и по свойству обратных тригонометрических функций получаем: $$ \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{7}\right)\right) = -\frac{\pi}{7} $$ *(Примечание: если число $4$ в записи условия является числовым коэффициентом перед выражением, то вычисление принимает вид:* $$ 4\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{7}\right)\right) = 4 \cdot \left(-\frac{\pi}{7}\right) = -\frac{4\pi}{7} $$ *)* **Ответ:** $-\frac{\pi}{7}$ (если $4$ — номер пункта) или $-\frac{4\pi}{7}$ (если $4$ — множитель).