ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 35 / вариант 2 - 16

16. 4) Упростим выражение: $$3\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\right)$$ **Решение:** 1. Найдём значение тангенса: $$\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$$ 2. Найдём значение арктангенса. По определению, $\operatorname{arctg} a$ — это такое число $x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, что $\operatorname{tg} x = a$. Так как $\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$ и $\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, получаем: $$\operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4}$$ *(Или по свойству обратных тригонометрических функций: $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = x$ при $x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, следовательно, $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}$.)* 3. Выполним умножение: $$3 \cdot \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\right) = 3 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$ **Ответ:** $\frac{3\pi}{4}$