ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 35 / вариант 2 - 12

12. $\boxed{5}$ Вычислить $\operatorname{ctg}\left(\arcsin \frac{3}{4}\right)$. Пусть $\alpha = \arcsin \frac{3}{4}$. По определению арксинуса: $\sin \alpha = \frac{3}{4}$, причём $\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$, так как $\frac{3}{4} > 0$. Так как угол $\alpha$ лежит в первой четверти, значение косинуса положительно ($\cos \alpha > 0$). Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, найдём $\cos \alpha$: $$ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} $$ По определению котангенса $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$: $$ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{\sqrt{7}}{3} $$ Следовательно: $$ \operatorname{ctg}\left(\arcsin \frac{3}{4}\right) = \frac{\sqrt{7}}{3} $$ Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{3}$.