ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 34 / вариант 2 - 35

35. Решим тригонометрическое уравнение: $$ 6(2\sqrt{3} - 8\sin x \cos x)(\sin 3x + 1) = 0 $$ Разделим обе части уравнения на 6: $$ (2\sqrt{3} - 8\sin x \cos x)(\sin 3x + 1) = 0 $$ Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю: $$ 2\sqrt{3} - 8\sin x \cos x = 0 \quad \text{или} \quad \sin 3x + 1 = 0 $$ 1. Решим первое уравнение: $$ 2\sqrt{3} - 8\sin x \cos x = 0 $$ Используем формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin 2x$: $$ 2\sqrt{3} - 4(2\sin x \cos x) = 0 $$ $$ 2\sqrt{3} - 4\sin 2x = 0 $$ $$ 4\sin 2x = 2\sqrt{3} $$ $$ \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Отсюда: $$ 2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ 2x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части на 2: $$ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ *(эту серию можно также записать в виде двух совокупностей: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$ и $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$)*. 2. Решим второе уравнение: $$ \sin 3x + 1 = 0 $$ $$ \sin 3x = -1 $$ Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения: $$ 3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части на 3: $$ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$; $\quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$.