ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 34 / вариант 2 - 32

5) Решим уравнение: $$ 2 \sin 3x = \sqrt{3} $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ \sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ По формуле корней простейшего тригонометрического уравнения $\sin t = a$: $$ 3x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Так как $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$, получаем: $$ 3x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части на $3$: $$ x = (-1)^n \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$. Для удобства перебора целых значений $n$ запишем границы отрезка со знаменателем $18$: $$ \left[ -\frac{9\pi}{18}; \frac{9\pi}{18} \right] $$ Переберём значения $n \in \mathbb{Z}$: - При $n = 0$: $$ x = \frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{18} \in \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right] $$ - При $n = 1$: $$ x = -\frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{9} = \frac{4\pi}{18} \in \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right] $$ - При $n = 2$: $$ x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{9} = \frac{14\pi}{18} > \frac{\pi}{2} \implies \text{корень не входит в отрезок} $$ - При $n = -1$: $$ x = -\frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi}{9} = -\frac{8\pi}{18} \in \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right] $$ - При $n = -2$: $$ x = \frac{\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{5\pi}{9} = -\frac{10\pi}{18} < -\frac{\pi}{2} \implies \text{корень не входит в отрезок} $$ При других значениях $n$ корни также выходят за пределы заданного отрезка. Ответ: $-\frac{4\pi}{9}; \; \frac{\pi}{9}; \; \frac{2\pi}{9}$.