ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 34 / вариант 2 - 33

1. Решим неравенство $\pi x - x^2 > 0$: $$ x(\pi - x) > 0 $$ $$ x(x - \pi) < 0 $$ Корни уравнения $x(x - \pi) = 0$ — это $x_1 = 0$ и $x_2 = \pi$. По методу интервалов получаем: $$ x \in (0; \pi) $$ 2. Решим тригонометрическое уравнение $\sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. Используем нечётность функции синус $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$: $$ -\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} $$ $$ \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Отсюда получаем две серии решений: 1) $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ $$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k $$ $$ x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $x - \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ $$ x - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $$ $$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $$ $$ x = \frac{11\pi}{12} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 3. Отберём корни, принадлежащие интервалу $(0; \pi)$: Для первой серии $x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k$: - при $k = 0$: $x = \frac{5\pi}{12} \in (0; \pi)$; - при $k \geqslant 1$: $x > \pi$; - при $k \leqslant -1$: $x < 0$. Для второй серии $x = \frac{11\pi}{12} + 2\pi k$: - при $k = 0$: $x = \frac{11\pi}{12} \in (0; \pi)$; - при $k \geqslant 1$: $x > \pi$; - при $k \leqslant -1$: $x < 0$. Таким образом, условию удовлетворяют два значения: $x = \frac{5\pi}{12}$ и $x = \frac{11\pi}{12}$. Ответ: $\frac{5\pi}{12}$; $\frac{11\pi}{12}$.