ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 29 / вариант 2 - 16

**16.** Упростим выражение: $$\cos^2 6\alpha + 4\sin^2 3\alpha\cos^2 3\alpha$$ 1. Преобразуем второе слагаемое, представив его в виде квадрата произведения: $$4\sin^2 3\alpha\cos^2 3\alpha = (2\sin 3\alpha\cos 3\alpha)^2$$ 2. Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ при $x = 3\alpha$: $$2\sin 3\alpha\cos 3\alpha = \sin(2 \cdot 3\alpha) = \sin 6\alpha$$ Следовательно: $$(2\sin 3\alpha\cos 3\alpha)^2 = \sin^2 6\alpha$$ 3. Подставим полученное выражение в исходное: $$\cos^2 6\alpha + \sin^2 6\alpha$$ 4. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ при $x = 6\alpha$: $$\cos^2 6\alpha + \sin^2 6\alpha = 1$$ Ответ: $1$