ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 29 / вариант 2 - 19

19. Докажем тождество: $$ \frac{1}{8} - \cos^2\alpha + \cos^4\alpha = \frac{1}{8}\cos 4\alpha $$ Преобразуем левую часть тождества: $$ \text{ЛЧ} = \frac{1}{8} - \cos^2\alpha + \cos^4\alpha $$ Сгруппируем второе и третье слагаемые и вынесем общий множитель $\cos^2\alpha$ за скобки: $$ \cos^4\alpha - \cos^2\alpha = \cos^2\alpha(\cos^2\alpha - 1) $$ Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем $\cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha$: $$ \cos^2\alpha(\cos^2\alpha - 1) = -\sin^2\alpha \cos^2\alpha $$ Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$: $$ -\sin^2\alpha \cos^2\alpha = -(\sin\alpha\cos\alpha)^2 = -\left(\frac{1}{2}\sin 2\alpha\right)^2 = -\frac{1}{4}\sin^2 2\alpha $$ Подставим полученное выражение обратно в левую часть: $$ \text{ЛЧ} = \frac{1}{8} - \frac{1}{4}\sin^2 2\alpha $$ Вынесем общий множитель $\frac{1}{8}$ за скобки: $$ \text{ЛЧ} = \frac{1}{8}(1 - 2\sin^2 2\alpha) $$ Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ при $x = 2\alpha$: $$ 1 - 2\sin^2 2\alpha = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos 4\alpha $$ Таким образом: $$ \text{ЛЧ} = \frac{1}{8}\cos 4\alpha $$ Левая часть равна правой части: $\frac{1}{8}\cos 4\alpha = \frac{1}{8}\cos 4\alpha$. Тождество доказано.