ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 29 / вариант 2 - 18

18. Упростим выражение: $$4 \cos 2\alpha(1 + \operatorname{tg}^2\alpha) - 1$$ Выражение имеет смысл при $\cos \alpha \neq 0$, то есть при $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. 1. Воспользуемся тождеством, связывающим тангенс и косинус одного и того же угла: $$1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$$ 2. Подставим полученное равенство в исходное выражение: $$4 \cos 2\alpha (1 + \operatorname{tg}^2\alpha) - 1 = 4 \cos 2\alpha \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1 = \frac{4\cos 2\alpha}{\cos^2\alpha} - 1$$ 3. Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$: $$\frac{4(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)}{\cos^2\alpha} - 1 = 4\left(\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\right) - 1$$ 4. Так как $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha$, выполним дальнейшие преобразования: $$4(1 - \operatorname{tg}^2\alpha) - 1 = 4 - 4\operatorname{tg}^2\alpha - 1 = 3 - 4\operatorname{tg}^2\alpha$$ Ответ: $3 - 4\operatorname{tg}^2\alpha$