ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 29 / вариант 2 - 12

12. Вычислим значение выражения: $$ 2(\cos 15^\circ + \sin 15^\circ)^2 $$ Раскроем квадрат суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ (\cos 15^\circ + \sin 15^\circ)^2 = \cos^2 15^\circ + 2\sin 15^\circ \cos 15^\circ + \sin^2 15^\circ $$ Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$: $$ \cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ + 2\sin 15^\circ \cos 15^\circ = 1 + \sin(2 \cdot 15^\circ) = 1 + \sin 30^\circ $$ Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем: $$ 1 + \sin 30^\circ = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$ Подставим полученный результат в исходное выражение: $$ 2(\cos 15^\circ + \sin 15^\circ)^2 = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 $$ Ответ: 3