ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 28 / вариант 2 - 17

17. [4] Упростим выражение: $$ \frac{\cos \alpha \cos \beta - \cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta) - \sin \alpha \sin \beta} $$ Применим формулы косинуса суммы и косинуса разности аргументов: - $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ - $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$ Преобразуем числитель дроби: $$ \cos \alpha \cos \beta - \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) = $$ $$ = \cos \alpha \cos \beta - \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \sin \alpha \sin \beta $$ Преобразуем знаменатель дроби: $$ \cos(\alpha - \beta) - \sin \alpha \sin \beta = (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) - \sin \alpha \sin \beta = $$ $$ = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta - \sin \alpha \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta $$ Подставим полученные выражения в исходную дробь: $$ \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta $$ Ответ: $\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta$