ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 28 / вариант 2 - 15

Упростим выражение: $$\frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{ctg}\beta}{\cos(\alpha + \beta)} \cdot \cos\alpha \sin\beta$$ 1. Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус и приведём разность к общему знаменателю: $$\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{ctg}\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \frac{\sin\alpha \sin\beta - \cos\alpha \cos\beta}{\cos\alpha \sin\beta}$$ 2. Вынесем знак «минус» в числителе за скобки и применим формулу косинуса суммы двух углов $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$: $$\frac{-(\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta)}{\cos\alpha \sin\beta} = -\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \sin\beta}$$ 3. Подставим полученное выражение в исходное: $$\frac{-\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \sin\beta}}{\cos(\alpha + \beta)} \cdot \cos\alpha \sin\beta = -\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta) \cos\alpha \sin\beta} \cdot \cos\alpha \sin\beta = -1$$ Ответ: $-1$