ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 28 / вариант 2 - 18

18. Разложим данное тригонометрическое выражение на множители: $$ \cos 5\alpha \cos 3\alpha \sin 3\alpha + \cos 5\alpha \sin 2\alpha + \sin 5\alpha \sin^2 3\alpha - \sin 5\alpha \cos 2\alpha $$ Сгруппируем слагаемые: первое с третьим, а второе с четвёртым: $$ (\cos 5\alpha \cos 3\alpha \sin 3\alpha + \sin 5\alpha \sin^2 3\alpha) + (\cos 5\alpha \sin 2\alpha - \sin 5\alpha \cos 2\alpha) $$ 1. В первой группе вынесем общий множитель $\sin 3\alpha$ за скобки и применим формулу косинуса разности $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$: $$ \sin 3\alpha (\cos 5\alpha \cos 3\alpha + \sin 5\alpha \sin 3\alpha) = \sin 3\alpha \cos(5\alpha - 3\alpha) = \sin 3\alpha \cos 2\alpha $$ 2. Во второй группе вынесем знак минус за скобки и применим формулу синуса разности $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$: $$ -(\sin 5\alpha \cos 2\alpha - \cos 5\alpha \sin 2\alpha) = -\sin(5\alpha - 2\alpha) = -\sin 3\alpha $$ 3. Подставим полученные результаты в исходное выражение: $$ \sin 3\alpha \cos 2\alpha - \sin 3\alpha $$ 4. Вынесем общий множитель $\sin 3\alpha$ за скобки: $$ \sin 3\alpha (\cos 2\alpha - 1) $$ 5. Преобразуем выражение в скобках, используя формулу понижения степени $\cos 2\alpha - 1 = -2\sin^2 \alpha$: $$ \sin 3\alpha \cdot (-2\sin^2 \alpha) = -2\sin^2 \alpha \sin 3\alpha $$ Ответ: $-2\sin^2 \alpha \sin 3\alpha$ (или $\sin 3\alpha (\cos 2\alpha - 1)$).