ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 28 / вариант 2 - 19

**19.** Докажем тождество: $$ \cos(\alpha - \beta)\cos(\alpha + \beta) = \cos^2\alpha - \sin^2\beta $$ Преобразуем левую часть равенства, применив формулы косинуса разности и косинуса суммы двух углов: $$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $$ $$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $$ Подставим эти выражения в левую часть тождества: $$ \cos(\alpha - \beta)\cos(\alpha + \beta) = (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) $$ Используем формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$: $$ (\cos\alpha\cos\beta)^2 - (\sin\alpha\sin\beta)^2 = \cos^2\alpha\cos^2\beta - \sin^2\alpha\sin^2\beta $$ Выразим $\cos^2\beta$ и $\sin^2\alpha$ через основное тригонометрическое тождество ($\cos^2 x + \sin^2 x = 1$): * $\cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta$ * $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$ Подставим полученные выражения: $$ \cos^2\alpha(1 - \sin^2\beta) - (1 - \cos^2\alpha)\sin^2\beta $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ \cos^2\alpha - \cos^2\alpha\sin^2\beta - \sin^2\beta + \cos^2\alpha\sin^2\beta = \cos^2\alpha - \sin^2\beta $$ В результате преобразований получена правая часть исходного равенства: $$ \cos^2\alpha - \sin^2\beta = \cos^2\alpha - \sin^2\beta $$ Тождество доказано.