ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 28 / вариант 2 - 16

16. Упростим выражение: $$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) $$ Применим формулы синуса суммы $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ и синуса разности $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$: 1. Раскроем первое слагаемое: $$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\alpha \cos\frac{\pi}{3} + \cos\alpha \sin\frac{\pi}{3} $$ Подставим значения $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha $$ 2. Раскроем второе слагаемое: $$ \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{3} \cos\alpha - \cos\frac{\pi}{3} \sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha $$ 3. Подставим полученные выражения в исходную разность: $$ \left(\frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha\right) $$ 4. Раскроем скобки и приведем подобные члены: $$ \frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha = \sin\alpha $$ Ответ: $\sin\alpha$