ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 28 / вариант 2 - 20

Для доказательства тождества преобразуем выражение в левой части: $$ \frac{\cos \alpha - 2 \cos \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right)}{2 \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{6} \right) - \sqrt{3} \sin \alpha} $$ 1. Преобразуем числитель дроби, применив формулу косинуса суммы $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$: $$ \cos \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{3} \sin \alpha = \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha $$ Подставим полученное выражение в числитель: $$ \cos \alpha - 2 \left( \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right) = \cos \alpha - \cos \alpha + \sqrt{3} \sin \alpha = \sqrt{3} \sin \alpha $$ 2. Преобразуем знаменатель дроби, применив формулу синуса разности $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$: $$ \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{6} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi}{6} - \cos \alpha \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha - \frac{1}{2} \cos \alpha $$ Подставим полученное выражение в знаменатель: $$ 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha - \frac{1}{2} \cos \alpha \right) - \sqrt{3} \sin \alpha = \sqrt{3} \sin \alpha - \cos \alpha - \sqrt{3} \sin \alpha = -\cos \alpha $$ 3. Подставим упрощенные выражения числителя и знаменателя в исходную дробь: $$ \frac{\sqrt{3} \sin \alpha}{-\cos \alpha} = -\sqrt{3} \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\sqrt{3} \tan \alpha $$ Левая часть равна правой части, тождество доказано.