ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 28 / вариант 2 - 13

13. Упростим выражение: $$ \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin \alpha \sin \beta} - 1 $$ Применим формулу косинуса разности двух углов $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$: $$ \frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \sin \beta} - 1 $$ Разделим почленно числитель дроби на знаменатель: $$ \frac{\cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta} + \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \sin \beta} - 1 $$ Учитывая, что $\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \sin \beta} = 1$, а также используя определение котангенса $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$, получаем: $$ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} + 1 - 1 = \operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta $$ Ответ: $\operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta$