ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 28 / вариант 2 - 12

1. По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ найдём $\cos^2 \alpha$: $$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{40}{41}\right)^2 = 1 - \frac{1600}{1681} = \frac{81}{1681} $$ Так как по условию $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (угол находится в III четверти), то косинус отрицателен: $$ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{81}{1681}} = -\frac{9}{41} $$ 2. Найдём тангенс угла $\alpha$: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{40}{41}}{-\frac{9}{41}} = \frac{40}{9} $$ 3. Применим формулу тангенса разности: $$ \operatorname{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}}{1 + \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}} $$ Учитывая, что $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$, подставим найденное значение $\operatorname{tg} \alpha$: $$ \operatorname{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{40}{9} - 1}{1 + \frac{40}{9} \cdot 1} = \frac{\frac{31}{9}}{\frac{49}{9}} = \frac{31}{49} $$ Ответ: $\frac{31}{49}$