ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 23 / вариант 1 - 6

Требуется найти все углы $\alpha$, удовлетворяющие равенству: $$ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ По определению синуса, значение $\sin \alpha$ равно ординате точки единичной окружности, полученной поворотом точки $(1; 0)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$. 1. На единичной окружности ординату $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеют две точки: в первой и во второй четвертях. 2. В промежутке $[0; 2\pi)$ этому значению соответствуют углы: $$ \alpha_1 = \frac{\pi}{4} \quad (45^\circ) $$ $$ \alpha_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \quad (135^\circ) $$ 3. Так как полный оборот равен $2\pi$ (или $360^\circ$), то с учетом периодичности получаем две серии углов: $$ \alpha = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ \alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Эти две серии решений также можно записать одной общей формулой для уравнения $\sin \alpha = a$: $$ \alpha = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ \alpha = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $\alpha = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$ (или $\alpha = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $\alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$).