ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 23 / вариант 1 - 4

По определению синуса и косинуса, при повороте точки $P(1; 0)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ получается точка $M(x; y)$ единичной окружности, координаты которой: $$ x = \cos \alpha, \quad y = \sin \alpha $$ По условию $\sin \alpha = 0,25$, следовательно, ордината искомых точек равна $y = 0,25$. **Построение точек на единичной окружности:** 1. На оси ординат $Oy$ находим точку с координатой $y = 0,25 = \frac{1}{4}$ (находится выше оси абсцисс на четверти расстояния от начала координат до точки $(0; 1)$). 2. Через отмеченную точку проводим горизонтальную прямую $y = 0,25$, параллельную оси $Ox$. 3. Прямая $y = 0,25$ пересекает единичную окружность в двух точках: — точка $M_1$ лежит в I координатной четверти; — точка $M_2$ лежит во II координатной четверти. Найдем абсциссы этих точек из уравнения единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$: $$ x^2 + 0,25^2 = 1 $$ $$ x^2 + \frac{1}{16} = 1 $$ $$ x^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} $$ $$ x = \pm \frac{\sqrt{15}}{4} \approx \pm 0,97 $$ Таким образом, условию удовлетворяют две точки, симметричные относительно оси $Oy$: - $M_1\left(\frac{\sqrt{15}}{4}; 0,25\right)$ в I четверти; - $M_2\left(-\frac{\sqrt{15}}{4}; 0,25\right)$ во II четверти. **Ответ:** искомыми являются две точки пересечения единичной окружности с прямой $y = 0,25$, расположенные в I и II четвертях: $M_1\left(\frac{\sqrt{15}}{4}; 0,25\right)$ и $M_2\left(-\frac{\sqrt{15}}{4}; 0,25\right)$.