ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / задание для интересующихся математикой - 4

Используем формулу перехода к новому основанию логарифма: $$ \frac{1}{\log_b a} = \log_a b $$ Тогда: $$ \frac{1}{\log_{96} 2} = \log_2 96, \quad \frac{1}{\log_{12} 2} = \log_2 12 $$ Исходное выражение принимает вид: $$ \frac{\log_{2} 24}{\log_{96} 2} - \frac{\log_{2} 192}{\log_{12} 2} = \log_2 24 \cdot \log_2 96 - \log_2 192 \cdot \log_2 12 $$ Представим подлогарифмические выражения в виде произведения степеней двойки и числа $3$: * $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$, откуда $\log_2 24 = \log_2 (2^3 \cdot 3) = \log_2 2^3 + \log_2 3 = 3 + \log_2 3$; * $96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$, откуда $\log_2 96 = \log_2 (2^5 \cdot 3) = \log_2 2^5 + \log_2 3 = 5 + \log_2 3$; * $192 = 64 \cdot 3 = 2^6 \cdot 3$, откуда $\log_2 192 = \log_2 (2^6 \cdot 3) = \log_2 2^6 + \log_2 3 = 6 + \log_2 3$; * $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$, откуда $\log_2 12 = \log_2 (2^2 \cdot 3) = \log_2 2^2 + \log_2 3 = 2 + \log_2 3$. Пусть $t = \log_2 3$. Подставим полученные выражения: $$ (3 + t)(5 + t) - (6 + t)(2 + t) $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ (t^2 + 8t + 15) - (t^2 + 8t + 12) = t^2 + 8t + 15 - t^2 - 8t - 12 = 3 $$ Ответ: 3.